题意：

n个点m条边的无向连通图，边权都是1。

起点是第1个点，终点是第n个点。

有k个特殊点，你必须在原图上添加一条边，这条边连接两个关键点。

问你从起点到终点最短路的最大值是多少。

数据范围： $2\leqslant n \leqslant 2 \cdot 10^5 , n - 1 \leqslant m \leqslant 2 \cdot 10^5 , 2 \leqslant k \leqslant n$ 。

题解：

先dij跑两遍，dis1表示以第1个点为起点的最短路。dis2表示以第n个点为起点的最短路。

比赛时候是乱搞的，按照dis1对特殊点排序，然后选相邻的特殊点连边。然后按照dis2排序做相同操作。

不知道为什么能过，不过貌似有人证出来了。比赛时候感觉O(n)做法只能这么做，然后就这么写了。

下面说说正解。

设 $i,j$ 是两个任意的特殊点，答案是 $min(dis1[n] , max(min(dis1[i] + dis2[j] , dis1[j] + dis2[i])) + 1)$ 。

我们需要求 $max(min(dis1[i] + dis2[j] , dis1[j] + dis2[i])) + 1$ 。

不妨设 $dis1[i] + dis2[j] < dis1[j] + dis2[i]$ 。我们需要知道的是 $max(dis1[i] + dis2[j])$ 。

移项得 $dis1[i] - dis2[i] < dis1[j] - dis2[j]$ 。

下面我们对每个关键点按照 $dis1[i] - dis2[i]$ 从小到大排序，对于每个关键点 $i$ 求出 $max(dis2[j])$ ， $(j>i)$ 。

可以用后缀最大值维护。

感受：

这题只有1900分，为什么我写的这么费劲，还要乱搞一个不会的做法。。。。

果然遇到不会的题目，分析出数学表达式才是王道。

代码1：（乱搞法）

#include
   
    using namespace std ;typedef long long ll ;typedef pair
    
      pii ;const int maxn = 2e5 + 5 ;int n , m , k ;char s[maxn] ;int dis1[maxn] , dis2[maxn] ;priority_queue
     
       , greater
      
        > q1 , q2 ;int num , head[maxn] ;bool vis[maxn] ;int cur = 0 ;struct node{	int x , id ;	bool operator <(const node &s)  const	{		if(x != s.x)  return x < s.x ;		else  return id < s.id ;	}} a[maxn] ;struct Edge{	int v , next ;} edge[maxn << 1] ;void add_edge(int u , int v){	edge[num].v = v ;	edge[num].next = head[u] ;	head[u] = num ++ ;}void dij1(int s){   for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)  dis1[i] = dis2[i] = 1e9 ;   dis1[s] = 0 ;   q1.push(make_pair(0 , s)) ;   while(!q1.empty())   {     pii p = q1.top() ;     q1.pop() ;     int u = p.second ;     if(p.first != dis1[u])  continue ; //优化，不用旧值更新。     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)     {       int v = edge[i].v , w = 1 ;       if(dis1[v] > dis1[u] + w)       {         dis1[v] = dis1[u] + w ;         q1.push(make_pair(dis1[v] , v)) ;       }     }   }}void dij2(int s){   dis2[s] = 0 ;   q2.push(make_pair(0 , s)) ;   while(!q2.empty())   {     pii p = q2.top() ;     q2.pop() ;     int u = p.second ;     if(p.first != dis2[u])  continue ; //优化，不用旧值更新。     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)     {       int v = edge[i].v , w = 1 ;       if(dis2[v] > dis2[u] + w)       {         dis2[v] = dis2[u] + w ;         q2.push(make_pair(dis2[v] , v)) ;       }     }   }}void solve(){	int ans = 0 ;    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)    {    	if(!vis[i])  continue ;    	a[++ cur].id = i , a[cur].x = dis1[i] ;	}	sort(a + 1 , a + cur + 1) ;	for(int i = 1 ; i <= cur - 1 ; i ++)	{		int cost = min(dis1[n] , dis1[a[i].id] + 1 + dis2[a[i + 1].id]) ;		cost = min(cost , dis1[a[i + 1].id] + 1 + dis2[a[i].id]) ;		ans = max(ans , cost) ;	}	cur = 0 ;	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)    {    	if(!vis[i])  continue ;    	a[++ cur].id = i , a[cur].x = dis2[i] ;	}	sort(a + 1 , a + cur + 1) ;	for(int i = 1 ; i <= cur - 1 ; i ++)	{		int cost = min(dis1[n] , dis1[a[i].id] + 1 + dis2[a[i + 1].id]) ;		cost = min(cost , dis1[a[i + 1].id] + 1 + dis2[a[i].id]) ;		ans = max(ans , cost) ;	}     printf("%d\n" , ans) ;}int main(){	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) ;	num = 0 , memset(head , -1 , sizeof(head)) ;	for(int i = 1 ; i <= k ; i ++)	{		int x ;		scanf("%d" , &x) ;		vis[x] = 1 ;	}	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)	{		int u , v ;		scanf("%d%d" , &u , &v) ;		add_edge(u , v) ;		add_edge(v , u) ;	}	dij1(1) ;	dij2(n) ;	solve() ;	return 0 ;}

代码2：（正解）

#include
   
    using namespace std ;typedef long long ll ;typedef pair
    
      pii ;const int maxn = 2e5 + 5 ;int n , m , k ;char s[maxn] ;int dis1[maxn] , dis2[maxn] ;priority_queue
     
       , greater
      
        > q1 , q2 ;int num , head[maxn] ;bool vis[maxn] ;int cur = 0 ;struct node{	int x , y ;	bool operator <(const node &s)  const	{		return x - y < s.x - s.y ;	}} a[maxn] ;struct Edge{	int v , next ;} edge[maxn << 1] ;void add_edge(int u , int v){	edge[num].v = v ;	edge[num].next = head[u] ;	head[u] = num ++ ;}void dij1(int s){   for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)  dis1[i] = dis2[i] = 1e9 ;   dis1[s] = 0 ;   q1.push(make_pair(0 , s)) ;   while(!q1.empty())   {     pii p = q1.top() ;     q1.pop() ;     int u = p.second ;     if(p.first != dis1[u])  continue ; //�Ż������þ�ֵ���¡�     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)     {       int v = edge[i].v , w = 1 ;       if(dis1[v] > dis1[u] + w)       {         dis1[v] = dis1[u] + w ;         q1.push(make_pair(dis1[v] , v)) ;       }     }   }}void dij2(int s){   dis2[s] = 0 ;   q2.push(make_pair(0 , s)) ;   while(!q2.empty())   {     pii p = q2.top() ;     q2.pop() ;     int u = p.second ;     if(p.first != dis2[u])  continue ; //�Ż������þ�ֵ���¡�     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)     {       int v = edge[i].v , w = 1 ;       if(dis2[v] > dis2[u] + w)       {         dis2[v] = dis2[u] + w ;         q2.push(make_pair(dis2[v] , v)) ;       }     }   }}void solve(){	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)	  if(vis[i])  a[++ cur].x = dis1[i] , a[cur].y = dis2[i] ;	sort(a + 1 , a + cur + 1) ;	int suf = a[cur].y ;	int ans = 0 ;	for(int i = cur - 1 ; i >= 1 ; i --)	  ans = max(ans , a[i].x + suf) , suf = max(suf , a[i].y) ;    printf("%d\n" , min(ans + 1 , dis1[n])) ;}int main(){	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) ;	num = 0 , memset(head , -1 , sizeof(head)) ;	for(int i = 1 ; i <= k ; i ++)	{		int x ;		scanf("%d" , &x) ;		vis[x] = 1 ;	}	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)	{		int u , v ;		scanf("%d%d" , &u , &v) ;		add_edge(u , v) ;		add_edge(v , u) ;	}	dij1(1) ;	dij2(n) ;	solve() ;	return 0 ;}